Эллипс это: ЭЛЛИПС — это… Что такое ЭЛЛИПС?

ЭЛЛИПС — это… Что такое ЭЛЛИПС?

эллипс — эллипс, а …   Русский орфографический словарь

ЭЛЛИПС — в грамматике пропуск к. н. маловажной части предложения, легко дополняемой в общей связи речи. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. ЭЛЛИПС, ЭЛЛИПСИС (греч. elleipsis). 1) замкнутая кривая линия,… …   Словарь иностранных слов русского языка

эллипс — 1. ЭЛЛИПС, а; м. [греч. elleipsis выпадение, опущение] 1. Матем. Замкнутая овальная кривая, обладающая тем свойством, что сумма расстояний каждой её точки от двух данных точек (фокусов) остаётся постоянной. 2. Контур предмета, очертания чего л.,… …   Энциклопедический словарь

эллипс — а, м., ЭЛЛИПСИС а, м. ellipse f. <гр. elleipsis недостаток, нехватка. 1. Замкнутая кривая, обладающая тем свойством, что сумма расстояний каждой ее точки от двух данных точек (фокусов) остается постоянной. БАС 1. Элипсис .. есть кривая линея в …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

Эллипс — Эллипс. ЭЛЛИПС (от греческого elleipsis недостаток), плоская кривая, сумма расстояний любой точки M которой до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) постоянна.   …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

ЭЛЛИПС — плоская овальная кривая (2 го порядка). Эллипс множество точек М, сумма расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 фокусов эллипса постоянна и равна длине большой оси. В надлежащей системе координат уравнение эллипса имеет вид x2/a2 + y2/b2 …   Большой Энциклопедический словарь

ЭЛЛИПС — (от греч. elleipsis выпадение опущение), фигура стилистическая, пропуск структурно необходимого элемента высказывания, обычно легко восстанавливаемого в данном контексте или ситуации ( Не тут то ЭЛЛИПСОИД замкнутая поверхность (2 го порядка).… …   Большой Энциклопедический словарь

ЭЛЛИПС — ЭЛЛИПС, коническое сечение, которое получается, если разрезать правильный круговой конус плоскостью, наклоненной под таким углом, чтобы она не пересекала основание конуса. Когда эта плоскость располагается параллельно основанию, в сечении… …   Научно-технический энциклопедический словарь

ЭЛЛИПС — (от греческого elleipsis недостаток), плоская кривая, сумма расстояний любой точки M которой до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) постоянна …   Современная энциклопедия

ЭЛЛИПС — и ЭЛЛИПСИС, эллипсиса, муж. (греч. elleipsis опущение, пропуск). 1. Замкнутая кривая, напоминающая по форме яйцо и получающаяся от пересечения конуса или цилиндра плоскостью (мат.). 2. Пропуск какого нибудь подразумеваемого члена предложения… …   Толковый словарь Ушакова

ЭЛЛИПС — и ЭЛЛИПСИС, эллипсиса, муж. (греч. elleipsis опущение, пропуск). 1. Замкнутая кривая, напоминающая по форме яйцо и получающаяся от пересечения конуса или цилиндра плоскостью (мат.). 2. Пропуск какого нибудь подразумеваемого члена предложения… …   Толковый словарь Ушакова

Эллипс — это… Что такое Эллипс?

Эллипс, его фокусы и главные оси Эллипс как коническое сечение, его фокусы и директрисы, получаемые геометрически с помощью шаров Данделена.

Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — опущение, недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек и (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

причем

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.

Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.

Связанные определения

• Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется
  большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
• Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
• Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
• Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
• Расстояния и от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
• Расстояние называется фокальным расстоянием.
• Величина называется эксцентриситетом.
• Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
• Радиус эллипса в данной точке (расстояние от его центра до данной точки) вычисляется по формуле , где  — угол между радиус-вектором данной точки и осью абсцисс.
• Фокальным параметром называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
• Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: Величина, равная называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением
• Для каждого из фокусов существует прямая, называемая директрисой, такая, что отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Весь эллипс лежит по ту же сторону от такой прямой, что и фокус. Уравнения директрис эллипса в каноническом виде записываются как для фокусов соответственно. Расстояние между фокусом и директрисой равно

Свойства

• Оптические
  • Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
  • Свет от источника, находящегося вне любого фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
• Если и — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой равен углу между этой касательной и прямой .
• Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
• Эволютой эллипса является астроида.
• Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами.
• Эксцентриситет эллипса равен отношению Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
• Эллипс также можно описать как

Соотношения между элементами эллипса

Части эллипса (описание см. в разделе «Связанные определения»)

.

Координатное представление

Эллипс как кривая второго порядка

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида

при инвариантах и где:

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса:

Каноническое уравнение

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.

Соотношения  

Уравнения в параметрической форме

Геометрическая иллюстрация параметризации эллипса (анимация).

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

где — параметр уравнения.

В случае окружности параметр является углом между радиус-вектором данной точки и положительным направлением оси абсцисс.

В полярных координатах

Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр. При положительном знаке перед e второй фокус эллипса будет находиться в точке а при отрицательном — в точке где фокальное расстояние

Если принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид

Длина дуги эллипса

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:

После замены выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода . В частности, периметр эллипса равен:

,

где — полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближённые формулы для периметра

Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 % при эксцентриситете эллипса ~0,988 (соотношение осей ~1/6,5). Погрешность всегда положительная.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:

, где

Максимальная погрешность этой формулы ~0,36 % при эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5). Погрешность также всегда положительная.

Cущественно лучшую точность при обеспечивает формула Рамануджана:

При эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5) погрешность составляет ~0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.

Площадь эллипса и его сегмента

Площадь эллипса вычисляется по формуле

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и хордой, проходящей через точки и

^{[источник не указан 156 дней]}

Если эллипс задан уравнением , то площадь можно определить по формуле

.

Построение эллипса

Построение с помощью иголок, нитки и карандаша.

Основная статья — статья «Построение эллипса» в Викиучебнике.

Инструментами для рисования эллипса являются:

• эллипсограф;
• две иголки, воткнутые в фокусы эллипса и соединённые ниткой длиной 2a, которую оттягивают карандашом.

При помощи циркуля или циркуля и линейки можно построить любое количество точек, принадлежащих эллипсу, но не весь эллипс целиком.

См. также

Литература

• Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 70—73.

Ссылки

Эллипс — геометрия и искусство

Эллипс — одно из конических сечений. Его также можно определить как фигуру, состоящую из всех тех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1 и F2 (называемых фокусами эллипса) является постоянной величиной, обычно обозначаемой через 2а .

Из этого определения нетрудно установить, что прямая, проходящая через фокусы эллипса, есть его ось симметрии, как и прямая, являющаяся серединным перпендикуляром отрезка F1F2. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса, его называют просто центром эллипса. Если взять указанные прямые в качестве осей координат, то уравнение эллипса запишется в виде х2/а2 + y2/b2 = 1.

Из уравнения эллипса следует, что ось абсцисс эллипс пересекает в точках (а,О) и (-а,0), а ось ординат-в точках (b, 0) и (—b, 0). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами на оси абсцисс называется большой осью, а на оси ординат- малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Зная определение эллипса, можно сделать простейший прибор, вычерчивающий эллипс. Для этого надо связать две булавки ниткой и воткнуть их в чертежную доску, взять карандаш и двигать его по бумаге так, чтобы грифель карандаша все время натягивал нитку. Тогда кончик грифеля будет рисовать на бумаге эллипс.

Второй способ построения эллипса основан на том факте, что при сжатии окружности к ее диаметру получается эллипс.  Отношение b/а характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее вытянут эллипс вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса принято выражать через другой параметр, общий для всех конических сечений,-эксцентриситет Ɛ = с/а. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы. У планет, которые, как известно, движутся по эллипсам, самый маленький эксцентриситет имеет орбита Венеры (0,0068), следующий по величине эксцентриситет у Нептуна (0,0086), затем у Земли (0,0167). Самый большой эксцентриситет у Плутона (0,253), однако он не идет ни в какое сравнение с эксцентриситетами комет. Так, комета Галлея имеет эксцентриситет 0,967.

Тот факт, что эллипс является результатом сжатия окружности, объясняет, почему круглые предметы: колеса машин, иллюминаторы кораблей, циферблаты часов и т. д. — мы видим как эллипсы, если смотрим на них под углом.

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с фокусами, пересекают касательную к эллипсу в этой точке под разными углами. А это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отражения попадет в другой. Это свойство лежит в основе интересного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях.

Энциклопедическмй словарь юного математика, 1989

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b, то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a, а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a, если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy.

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5, меньшая полуось — это b = 4. Получаем каноническое уравнение эллипса:

.

---

---

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

,

называются фокусами.

Число

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение эллипса:

.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13. Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

.

Получаем фокусы эллипса:

---

Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса готово:

Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

,

так как из исходного уравнения эллипса .

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Поделиться с друзьями

Другие материалы по теме Кривые второго порядка

Глава 18. Эллипс

Глава 18. Эллипс

Глава 18. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы эллипса обозначают буквами и , расстояние между ними — через 2с. По определению эллипса или .

Пусть дан эллипс. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение данного эллипса имеет вид

(1)

где ; очевидно, . Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением эллипса.

При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии (рис.). Оси симметрии эллипса называются просто его осями, центр симметрии — просто центром. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. На рис. Вершины эллипса суть точки A’, A, B’, B. Часто осями эллипса называются также отрезки A’A=2a и B’B=2b; вместе с тем отрезок ОА=а называют большой полуосью эллипса, отрезок OB=b — малой полуосью.

Если фокусы эллипса расположены на оси Оу (симметрично относительно начала координат), то уравнение эллипса имеет тот же вид (1), но в этом случае ; следовательно, если мы желаем буквой а обозначать большую полуось, то в уравнении (1) нужно буквы а и b поменять местами. Однако для удобства формулировок задач мы условимся буквой а всегда обозначать полуось, расположенную на оси Ох, буквой b — полуось, расположенную на оси Оу, независимо от того, что больше, a или b. Если a=b, то уравнение (1) определяет окружность, рассматриваемую как частный случай эллипса.

Число

где а — большая полуось, называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, (для окружности ). Если М(x; y) — произвольная точка эллипса, то отрезки и (рис.) называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы могут быть вычислены по формулам

, .

Если эллипс определен уравнением (1) и , то прямые

,

(рис.) называются директрисами эллипса (если , то директрисы определяются уравнениями , .

Каждая директриса обладает следующим свойством: если r — расстояние от произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, d — расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:

Если две плоскости и образуют острый угол , то проекциейй на плоскость окружности радиуса a, лежащей на плоскости , является эллипс с большой полуосью а; малая полуось b этого эллипса определяется по формуле

(рис.).

Если круглый цилиндр имеет в качестве направляющей окружность радиуса b, то в сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к оси цилиндра под острым углом , будет эллипс, малая полуось которого рвна b; большая полуось а этого эллипса определяется по формуле

(рис.).

Текст издания:	© Д.В.Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998.
Решение задач:	© Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/. Все права принадлежат мне, если не оговорено иное 😉

Сайт управляется системой uCoz

фокусное расстояние, уравнение, свойства и эксцентриситет фигуры

Эллипс – это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки до двух точек равняется постоянной величине.

Что такое эллипс и фокусное расстояние

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна .

Обозначим фокусы эллипса и . Допустим, что расстояние  = – фокусное расстояние.

Рис. 1

– фокусы .

; ,

– половина расстояния между фокусами;

– большая полуось;

– малая полуось.

Теорема:

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

 Если точка находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, (теорема Пифагора). Если же точка находится на пересечении его с горизонтальной осью, . Так как по определению сумма – постоянная величина, то приравнивая получается:

.

Уравнение эллипса

Уравнение элиппса бывает двух видов:

1. Каноническое уравнение эллипса.
2. Параметрическое уравнение эллипса.

Сначала рассмотрим каноническое уравнение эллипса:

Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипс описывается уравнением:

Если центр эллипсa смещен в точку с координатами  тогда уравнение:

Чтобы получить каноническое уравнение эллипса, разместим и на оси симметричной к началу координат. Тогда у фокусов будут такие координаты и (см. рис. 2).

Пусть – произвольная точка эллипса. Обозначим через и – расстояние от точки к фокусам. Согласно с определением эллипса:

(1)

Рис. 2

Подставим в (1) , и освободимся от иррациональности, подняв обе части к квадрату, получим:

 (подносим к квадрату обе части): ,

Обозначим: , получаем каноническое уравнение эллипса:

(2)

Отметим, что по известному свойству треугольника (сумма двух сторон  больше третьей) из у нас получается . Так как , тогда , и поэтому .

Для построения эллипса обратим внимание, что если точка принадлежит эллипсу, то есть удовлетворяет уравнение (2), тогда точки тоже удовлетворяют это уравнение: из

.

Точки – расположены симметрично относительно осей координат. Значит, эллипс – фигура, симметричная относительно координатных осей. Поэтому достаточно построить график в первой четверти, а тогда симметрично продолжить его.

Из уравнения (2) находим , для первой четверти .

Если , тогда . Если же , тогда . Точки и , а также симметричные с ними , – вершины эллипса, точка – центр эллипса, = большая ось, – малая ось эллипса.

Если первой четверти, тогда из получается, что при возрастании от к значение падает от к . (рис. 3)

Параметрическое уравнение выглядит так:

Основные свойства эллипса

Рассмотрим основные свойства эллипса, которые необходимы для решения многих задач.

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом  равен углу между касательной и фокальным радиусом .

2. Уравнение касательной к эллипсу в точке с координатами :

.

3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, который соединяет середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда проходит через середину (центр) эллипсa. (При помощи данного свойства можно построить эллипс при помощи циркуля и линейка, а также найти центр эллипса).

4. Эволюта эллипсa – это астероида, которая растянута вдоль короткой оси.

5. Если вписать эллипс с фокусами и у треугольника , тогда выполняется соотношение:

=

Эксцентриситет эллипса

ОпределениеЭксентриситет эллипса – это величина отношения межфокусного расстояния к большей оси и после сокращения на обозначается

Значения эксентриситета характеризует степень “сплющенность” эллипса. Если , тогда – получается круг. Если же , тогда – эллипс превращается в отрезок. В некоторых случаях . Для фокальных радиусов приведём без доказательства такие формулы:

 Рис. 3

Эллипс можно построить механическим способом. Из канонического уравнения нужно найти полуоси и , тогда вычислим – полуфокусное расстояние.

Строим фокусы и на расстоянии один от другого Концы не растянутой нити длиной закрепляем в точках  и . Натягивая остриём карандаша нитку, водим остриём по плоскости таким образом, чтобы нитка скользила по острию. Карандаш при этом опишет полуось. Оттягивая нить в противоположную сторону, начертим вторую половину эллипса.

Примеры решения задач

Пример 1 Пример 2 Пример 3

Найти оси, вершины и фокусы эллипса или . Построить эллипс.

Сравнивая последнее уравнение с уравнением (2), у нас получается:

, . Откуда находим оси эллипса: , и координаты вершин: , , , . Дальше из формулы:

. Значит, фокусами эллипса есть точки: и . Для построения эллипса отложим на осях и вершины соответственно  соединим их плавной линией, (см. задачу 1).

Замечание! Если в каноническом уравнении большей полуосью будет , тогда фокусы эллипса будут расположены на оси и тогда .

Эллипс – фокусное расстояние, уравнение, свойства и эксцентриситет фигуры обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Чем отличается овал от эллипса

Простейшие математические термины могут вызвать настоящую головную боль у человека, далёкого от точных наук. Такие определения, как овал и эллипс, путают не только школьники, но и достаточно взрослые люди. Попробуем наметить отличия между данными понятиями, используя простые и доступные выражения, избегая математических терминов.

Определение

Овал – это замкнутая вытянутая геометрическая фигура, обладающая правильной формой и особыми свойствами. Вписанная в окружность, она обладает как минимум 4 точками экстремума, то есть вершинами. Если разделить овал прямой линией по двум противоположным вершинам, то два сегмента, полученные в результате данного действия, будут абсолютно идентичными.
Эллипс – это замкнутая плоская кривая, частный случай овала, у которого имеется 4 вершины в точках экстремума. Центральная ось, проведённая по двум противоположным точкам экстремума, содержит две точки фокуса, равноудалённые от вершин. Сумма расстояний от фокусов до любой точки на кривой эллипса – постоянная величина, которая равна длине центральной оси.

Эллипск содержанию ↑

Сравнение

Таким образом, ключевое отличие между указанными понятиями на бытовом уровне улавливается через их определения. Вариантов построения овала – множество, оси, проведённые из точек их вершин, могут иметь различное соотношение. Если же мы говорим про эллипс, то здесь действуют особые условия его построения. На большей оси есть 2 фокуса, равноудалённые от вершин.

Сумма расстояний от фокусов до любой точки на кривой всегда одинаково и равно длине большой оси. Это свойство используют строители и дизайнеры для проецирования фигур на местности. Если же расстояние от фокусов будет одинаковым, но больше или меньше длины большой оси, то мы говорим об овале.

к содержанию ↑

Выводы TheDifference.ru

1. Объём. Овал – более широкое понятие, в объём которого входит эллипс.
2. Свойства. У эллипса сумма расстояний от двух фокусов, лежащих на большой оси, до точки на кривой, является одинаковым и равно длине центральной оси.

Ellipse — определение математического слова

Ellipse — определение математического слова — Math Open Reference

Изогнутая линия, образующая замкнутый контур, где сумма расстояний от двух точек (фокусов) до каждой точки на линии постоянна.

Попробуйте это Перетащите любую оранжевую точку. Вы можете изменить положение двух точек фокусировки (F1, F2). Также перетащите точку на эллипсе и обратите внимание, что сумма длин линий, которые встречаются там, постоянна.

Эллипс выглядит как круг, сжатый в овал.Как и круг, эллипс — это линия. Представьте себе прямую отрезок линии, который загнут до соединения концов. Затем сформируйте эту петлю, пока она не превратится в эллипс — своего рода «сплющенный круг», подобный приведенному выше. Вещи, имеющие форму эллипса, называются «эллиптическими».

Как определяются эллипсы

Эллипс определяется двумя точками, каждая из которых называется фокусом. (F1, F2 выше). Если взять любую точку эллипса, сумма расстояний до точек фокусировки будет постоянной.На рисунке выше перетащите точку на эллипсе и увидите, что в то время как расстояния до точек фокусировки меняются, их сумма постоянна. Размер эллипса определяется суммой этих двух расстояний. Сумма этих расстояний равна длине большая ось (наибольший диаметр эллипса).

Две линии a и b , которые определяют эллипс, называются генераторные линии. Каждого иногда называют образующая.

Положение фокусов (множественное число от focus, произносится как «враг-вздох») определяет, насколько «сжат» эллипс.Перетащите F1 и F2 и посмотрите, как это происходит. Если они находятся в одном месте, эллипс представляет собой круг. На самом деле круг — это частный случай эллипса. На рисунке выше перетащите один фокус, пока он не окажется над другим.

Свойства эллипса

Отношение к окружности

На самом деле круг — это частный случай эллипса. В эллипсе, если вы сделаете большую и малую ось одинаковой длины, результатом будет круг с обоими фокусами в центре. См. Определение круга

Как нарисовать эллипс

Есть несколько практических способов нарисовать эллипс заданного размера.См. Раздел Рисование эллипса с веревкой и булавками.

Другие определения эллипсов

Есть и другие способы определения эллипса, использующие координатная геометрия:

• Использование тригонометрии: где
  t — параметр
  a — горизонтальная полуось и
  b вертикальная полуось.
  Подробнее см. Параметрические уравнения эллипса.
• Использование формулы
  Когда центр эллипса находится в начале координат (0,0): где
  a — горизонтальная полуось, а b — вертикальная полуось
  (x, y) — координаты любой точки эллипса.
  Подробнее см. Общие уравнения эллипса.
• Использование формулы
  Когда центр эллипса находится в точке (h, k): где
  a — горизонтальная полуось, а b — вертикальная полуось,
  (h, k) — координаты x, y центра эллипса. а также
  (x, y) — координаты любой точки эллипса.
  Подробнее см. Общие уравнения эллипса.
• В виде конуса
  В виде конуса разрезана под углом плоскостью, пересечение имеет форму эллипса.
  Подробнее см. Коническое сечение — эллипс.

Другие темы с эллипсами

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Определение эллипса по Merriam-Webster

эл · липза | \ i-ˈlips , е- \

б : замкнутая плоская кривая, образованная точкой, движущейся таким образом, что сумма ее расстояний от двух фиксированных точек является постоянной : плоское сечение правого кругового конуса, которое является замкнутой кривой

Площадь эллипса — объяснение и примеры

В геометрии an представляет собой двумерную плоскую вытянутую окружность, симметричную относительно самого короткого и самого длинного диаметров.Эллипс напоминает овал. В эллипсе самый длинный диаметр известен как большая ось, тогда как самый короткий диаметр известен как малая ось.

Расстояние между двумя точками внутри эллипса от точки на эллипсе такое же, как и расстояние от любой другой точки эллипса от той же точки. Эти точки внутри эллипса называются фокусами. В этой статье вы узнаете, что такое эллипс и как найти его площадь, используя формулу площади эллипса.Но сначала посмотрите на его несколько приложений.

Эллипсы имеют множество применений в области техники, медицины, науки и т. Д. Например, планеты вращаются по своим эллиптическим орбитам.

Считается, что в атоме электроны вращаются вокруг ядра по эллиптическим орбитам.

Концепция эллипсов используется в медицине для лечения камней в почках (литотрипсия). Другими реальными примерами эллиптических форм являются огромный эллиптический парк перед Белым домом в Вашингтоне, округ Колумбия, и собор Св.Здание собора Павла.

К этому моменту вы получили представление о том, что такое эллипс, теперь давайте рассмотрим, как вычислить площадь эллипса.

Как найти площадь эллипса?

Чтобы вычислить площадь эллипса, вам потребуются измерения как большого, так и малого радиусов.

Формула площади эллипса

Формула площади эллипса имеет следующий вид:

Площадь эллипса = πr ₁ r ₂

Где π = 3.14, r ₁ и r ₂ являются малым и большим радиусами соответственно.

Примечание: Малый радиус = малая полуось (малая ось / 2) и большой радиус = большая полуось (большая ось / 2)

Давайте проверим наше понимание формулы площади эллипса, решив несколько примеров проблемы.

Пример 1

Какова площадь эллипса с малым и большим радиусами 12 см и 7 см соответственно?

Решение

Дано;

r ₁ = 7 см

r ₂ = 12 см

По формуле

Площадь эллипса = πr ₁ r ₂

= 3.14 x 7 x 12

= 263,76 см ²

Пример 2

Большая и малая оси эллипса — 14 м и 12 м соответственно. Какая площадь у эллипса?

Решение

Дано;

Большая ось = 14 м ⇒ большой радиус, r ₂ = 14/2 = 7 м

Малая ось = 12 м ⇒ малый радиус, r ₁ = 12/2 = 6 м.

Площадь эллипса = πr ₁ r ₂

= 3.14 x 6 x 7

= 131,88 м ² .

Пример 3

Площадь эллипса составляет 50,24 квадратных ярда. Если большой радиус эллипса на 6 ярдов больше малого радиуса. Найдите малый и большой радиусы эллипса.

Решение

Дано;

Площадь = 50,24 квадратных ярда

Большой радиус = 6 + малый радиус

Пусть малый радиус = x

Следовательно,

Большой радиус = x + 6

Но, площадь эллипса = πr ₁ r ₂

⇒50.24 = 3,14 * x * (x + 6)

⇒ 50,24 = 3,14x (x + 6)

Применяя свойство распределения умножения к правой части, мы получаем

⇒ 50,24 = 3,14x ² + 18,84x

Разделим обе части на 3,14

⇒16 = x ² + 6x

⇒x ² + 6x — 16 = 0

⇒x ² + 8x — 2x — 16 = 0

⇒ x (x + 8) — 2 (x + 8) = 0

⇒ (x — 2) (x + 8) = 0

⇒ x = 2 or — 4

Заменить x = 2 на два уравнения радиусов

Следовательно,

Большой радиус = x + 6 ⇒ 8 ярдов

Малый радиус = x = 2 ярда

Итак, большой радиус эллипса составляет 8 ярдов, а меньший радиус — 2 ярда.

Пример 4

Найдите площадь эллипса, радиус которого составляет 50 футов и 30 футов соответственно.

Решение

Дано:

r ₁ = 30 футов и r ₂ = 50 футов

Площадь эллипса = πr ₁ r ₂

A = 3,14 × 50 × 30

A = 4710 футов ²

Следовательно, площадь эллипса составляет 4710 футов ² .

Пример 5

Рассчитайте площадь эллипса, показанного ниже.

Решение

Учитывая, что;

r ₁ = 5,5 дюйма

r ₂ = 9,5 дюйма

Площадь эллипса = πr ₁ r ₂

= 3,14 x 9,5 x 5,5

= 164,0652

= 164,0652

= 164,0652

Площадь полуэллипса (h3)

Полуэллипс — это половина эллипса. Поскольку мы знаем площадь эллипса как πr ₁ r ₂ , следовательно, площадь полуэллипса составляет половину площади эллипса.

Площадь полуэллипса = ½ πr ₁ r ₂

Пример 6

Найдите площадь полуэллипса радиусами 8 см и 5 см.

Решение

Площадь полуэллипса = ½ πr ₁ r ₂

= ½ x 3,14 x 5 x 8

= 62,8 см ² .

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Эллипс | COSMOS

Эллипс — одно из четырех классических конических сечений, созданных путем разрезания конуса плоскостью.Остальные — парабола, круг и гипербола. Эллипс жизненно важен в астрономии, поскольку все небесные объекты на периодических орбитах вокруг других небесных объектов имеют очертания эллипсов.

Эллипс определяется как геометрическое место всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний r ₁ и r ₂ до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂ (называемые фокусами), разделенные расстоянием 2c , представляет собой заданную константу 2a .

Следовательно, из этого определения уравнение эллипса выглядит следующим образом: r ₁ + r ₂ = 2a , где a = большая полуось.

Наиболее распространенная форма уравнения эллипса записывается с использованием декартовых координат с началом в точке на оси x между двумя фокусами, показанными на диаграмме слева.

Если мы определим малую полуось b ² = a ² — c ² , то уравнение эллипса можно переписать как:

	где	большая полуось
		Малая полуось

Форма эллипса описывается его эксцентриситетом.Чем больше большая полуось относительно малой полуоси, тем более эксцентричным считается эллипс. Эксцентриситет определяется как:

Еще одно полезное соотношение можно получить, заменив b в приведенном выше уравнении:

Это дает интерпретацию эксцентриситета как положения фокусов как доли большой полуоси.

Положение точки на эллипсе может быть задано с помощью полярных координат, радиального расстояния r и угла f с началом координат в одном из фокусов.Это позволяет нам выразить координаты (x, y), используя:

Уравнение эллипса также можно записать в полярных координатах ( r, f ). Подставляя x и y в уравнение эллипса, получаем:

Круг является частным случаем эллипса с c = 0 , то есть два фокуса совпадают и становятся центром круга.Если мы заменим нулевой эксцентриситет в приведенных выше уравнениях, мы получим a = b , так что обе оси равны друг другу и радиусу окружности.

Определение эллипса на Dictionary.com

[ih-lips] SHOW IPA

/ ɪˈlɪps / PHONETIC RESPELLING

---

существительное Геометрия.

плоская кривая, у которой суммы расстояний от каждой точки на ее периферии до двух фиксированных точек, фокусов, равны. Это коническое сечение, образованное пересечением правильного кругового конуса плоскостью, пересекающей ось и поверхность конуса.Типичное уравнение: (x2 / a2) + (y2 / b2) = 1. Если a = b, эллипс представляет собой круг.

ВИКТОРИНЫ

ПРОГНОЗИРУЙТЕ СЕБЯ НА «САЙТЕ», «CITE» И «ВИДЕО»!

Обратите внимание на многословное золото с помощью этой викторины, в которой часто путаются слова «сайт», «цитировать» и «взгляд»!

Вопрос 1 из 7

«Сайт» и «цитировать» происходят от одного и того же латинского корня , «Situs».

Происхождение эллипса

1745–55; эллипсиселлипсис; или обратное образование из эллипсов множественного числа

Слова рядом с эллипсом

Элликотт-Сити, Эллингтон, Эллингтон, Дьюк, операция Эллиота, Эллиотт, эллипс, эллипс, эллипс, эллипс, эллипс Совместный

Словарь.com Несокращенный На основе Несокращенного словаря Random House, © Random House, Inc. 2021

Слова, относящиеся к эллипсу

траектория, вращение, узор, путь, дуга, арка, контур, петля, апогей, трек, кривая, курс, круг, геометрическое место, круг, круг, цикл, перигей, поворот, развертка

Примеры предложений из Интернета для эллипса

.expandable-content {display: none;}. css-12x6sdt.expandable.content-extended> .expandable-content {display: block; }]]>

• Точно так же представьте, что вам представлен настоящий эллипс, а другой объект представляет собой наклонную монету в форме эллипса.

• Отверстие, хотя и имеющее форму эллипса, в которое его поместил этот хорошо подвешенный стержень, выглядело бы так, как если бы его проследил компас.

• 18 декабря торжествующий Джонсон появился на эллипсе возле Белого дома, чтобы зажечь национальную рождественскую елку.

• На эллиптической орбите, образованной притяжением планет, Солнце обязательно занимает один из фокусов эллипса.

• Сама длинная ось эллипса находится в постоянном движении в направлении движения Земли.

• Форма представляет собой эллипс с осями 620 и 513 футов, здание занимает почти шесть акров земли.

• Диск представлял собой невероятно длинный эллипс, окруженный огромным множеством более мелких тел, фрагментов и содержимого корабля.

• Эллипс — это фигура, ограниченная непрерывной кривой, природа которой будет показана ниже.

СМОТРЕТЬ БОЛЬШЕ ПРИМЕРОВ СМОТРЕТЬ МЕНЬШЕ ПРИМЕРОВ



Изучить словарь.com

li {-webkit-flex-базис: 49%; — ms-flex-предпочтительный-размер: 49%; flex-base: 49%;} @ экран только мультимедиа и (max-width: 769px) {. css- 2jtp0r> li {-webkit-flex-base: 49%; — ms-flex-предпочтительный-размер: 49%; flex-base: 49%;}} @ media only screen и (max-width: 480px) {. Css -2jtp0r> li {-webkit-flex-базис: 100%; — ms-flex-предпочтительный-размер: 100%; гибкий-базис: 100%;}}]]>

Определения эллипса в Британском словаре

---

существительное

: замкнутая коническая секция в форме сплющенного круга, образованная наклонной плоскостью, которая не пересекает основание конуса.Стандартное уравнение x ² ​​/ a ² + y ² / b ² = 1, где 2 a и 2 b — длины большой и малой осей. Область: π ab

Word Origin for ellipse

C18: обратное формирование из многоточия

Словарь английского языка Коллинза — полное и несокращенное цифровое издание 2012 г. © William Collins Sons & Co. Ltd. 1979, 1986 © HarperCollins Publishers 1998, 2000, 2003, 2005, 2006, 2007, 2009, 2012

Научные определения эллипса

---

Замкнутая симметричная кривая в форме овала, которая может быть образована путем пересечения конуса с плоскостью не параллельно и не перпендикулярно основанию конуса.Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух фиксированных точек (называемых фокусами) остается постоянной независимо от того, где находится точка на кривой.

Научный словарь американского наследия® Авторские права © 2011. Издано издательством Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Все права защищены.

Культурные определения для эллипса

---

В геометрии кривая, очерченная точкой, которая должна перемещаться так, чтобы сумма ее расстояний от двух фиксированных точек (называемых фокусами) оставалась постоянной.Если фокусы идентичны друг другу, эллипс представляет собой круг; если два очага отличаются друг от друга, эллипс выглядит как сжатый или удлиненный круг.

Новый словарь культурной грамотности, третье издание Авторские права © 2005 издательской компании Houghton Mifflin Harcourt. Опубликовано Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Все права защищены.

Прочие — это Readingli {-webkit-flex-base: 100%; — ms-flex-предпочтительный размер: 100%; flex-base: 100%;} @ media only screen and (max-width: 769px) {.css-1uttx60> li {-webkit-flex-base: 100%; — ms-flex-предпочтительный-размер: 100%; flex-base: 100%;}} @ media only screen and (max-width: 480px) { .css-1uttx60> li {-webkit-flex-базис: 100%; — ms-flex-предпочтительный-размер: 100%; гибкий-базис: 100%;}}]]>

Эллипс | математика | Britannica

Эллипс , замкнутая кривая, пересечение прямого кругового конуса ( см. Конус ) и плоскости, не параллельной основанию, оси или элементу конуса. Его можно определить как путь точки, движущейся в плоскости, так что отношение ее расстояний от фиксированной точки (фокуса) и фиксированной прямой линии (директриса) меньше единицы.Любой такой путь имеет то же свойство по отношению ко второй фиксированной точке и второй фиксированной линии, а эллипсы часто считаются имеющими два фокуса и две направляющие. Отношение расстояний, называемое эксцентриситетом, является дискриминантом ( q.v .; общего уравнения, которое представляет все конические сечения [ см. Коническое сечение ]). Другое определение эллипса состоит в том, что это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек (фокусов) постоянна.Чем меньше расстояние между фокусами, тем меньше эксцентриситет и тем больше эллипс напоминает круг.

Прямая линия, проведенная через фокусы и продолженная до кривой в любом направлении, является большим диаметром (или большой осью) эллипса. Перпендикулярно большой оси, проходящей через центр, в точке на большой оси, равноудаленной от фокусов, проходит малая ось. Линия, проведенная через оба очага параллельно малой оси, представляет собой latus rectum (буквально «прямая сторона»).

Эллипс симметричен относительно обеих своих осей. Кривая при вращении вокруг любой оси образует поверхность, называемую эллипсоидом ( q.v. ) вращения, или сфероидом.

Путь одного небесного тела, движущегося вокруг другого по замкнутой орбите в соответствии с законом тяготения Ньютона, представляет собой эллипс ( см. законы движения планет Кеплера). В солнечной системе одним из центров такого пути вокруг Солнца является само Солнце.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.Подпишитесь сейчас

Для эллипса, центр которого находится в начале координат и оси которого совпадают с осями x и y , уравнение имеет вид x ² / a ² + y ² / b ² = 1. Длина большого диаметра равна 2 a; длина малого диаметра 2 b. Если c принять как расстояние от начала координат до фокуса, то c ² = a ² — b ² , и фокусы кривой могут быть расположены, когда известны большой и малый диаметры.Проблема нахождения точного выражения для периметра эллипса привела к развитию эллиптических функций, важной темы в математике и физике.

Уравнения эллипсов | Колледж алгебры

Результаты обучения

• Определите фокусы, вершины, оси и центр эллипса.
• Напишите уравнения эллипсов с центром в начале координат.
• Напишите уравнения эллипсов с центром в начале координат.

Коническое сечение или коническое — это форма, полученная в результате пересечения правого кругового конуса с плоскостью.Угол, под которым плоскость пересекает конус, определяет форму.

Конические сечения также можно описать набором точек на координатной плоскости. Позже в этой главе мы увидим, что график любого квадратного уравнения с двумя переменными представляет собой коническое сечение. Знаки уравнений и коэффициенты переменных членов определяют форму. В этом разделе рассматриваются четыре варианта стандартной формы уравнения эллипса. Эллипс — это набор всех точек [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] в плоскости, таких, что сумма их расстояний от двух фиксированных точек является постоянной.Каждая фиксированная точка называется фокусом (во множественном числе: фокусы ) эллипса.

Мы можем нарисовать эллипс с помощью куска картона, двух канцелярских кнопок, карандаша и веревки. Поместите канцелярские кнопки в картон, чтобы сформировать фокусы эллипса. Отрежьте кусок веревки длиннее, чем расстояние между двумя кнопками (длина строки представляет собой константу в определении). Прикрепите каждый конец веревки к картону и начертите кривую карандашом, плотно прижатым к веревке.В результате получился эллипс.

Каждый эллипс имеет две оси симметрии. Более длинная ось называется главной осью , а более короткая ось называется вспомогательной осью . Каждая конечная точка большой оси является вершиной эллипса (множественное число: вершины ), а каждая конечная точка малой оси является совершиной эллипса. Центр эллипса является средней точкой как большой, так и малой осей. Оси перпендикулярны в центре.Фокусы всегда лежат на большой оси, и сумма расстояний от фокусов до любой точки эллипса (постоянная сумма) больше, чем расстояние между фокусами.

В этом разделе мы ограничиваем эллипсы теми, которые расположены вертикально или горизонтально в координатной плоскости. То есть оси будут либо лежать, либо быть параллельны осям x и y . Позже в этой главе мы увидим эллипсы, повернутые в координатной плоскости.

Для работы с горизонтальными и вертикальными эллипсами в координатной плоскости мы рассматриваем два случая: те, которые центрированы в начале координат, и те, которые центрированы в точке, отличной от начала координат.Сначала мы научимся выводить уравнения эллипсов, а затем научимся записывать уравнения эллипсов в стандартной форме. Позже мы будем использовать полученные знания для рисования графиков.

Чтобы вывести уравнение эллипса с центром в начале координат, мы начнем с фокусов [латекс] (- c, 0) [/ latex] и [latex] (- c, 0) [/ latex]. Эллипс — это набор всех точек [latex] (x, y) [/ latex], таких что сумма расстояний от [latex] (x, y) [/ latex] до фокусов постоянна, как показано на рисунок ниже.

Если [latex] (a, 0) [/ latex] является вершиной эллипса, расстояние от [latex] (- c, 0) [/ latex] до [latex] (a, 0) [/ latex] это [латекс] а — (- с) = а + с [/ латекс]. Расстояние от [latex] (c, 0) [/ latex] до [latex] (a, 0) [/ latex] составляет [latex] a-c [/ latex]. Сумма расстояний от фокусов до вершины

.

[латекс] (a + c) + (a-c) = 2a [/ латекс]

Если [latex] (x, y) [/ latex] — точка на эллипсе, то мы можем определить следующие переменные:

[латекс] \ begin {align} d_1 & = \ text {расстояние от} (-c, 0) \ text {to} (x, y) \\ d_2 & = \ text {расстояние от} (c, 0) \ text {to} (x, y) \ end {align} [/ latex]

По определению эллипса, [latex] d_1 + d_2 [/ latex] является константой для любой точки [latex] (x, y) [/ latex] на эллипсе.2} = 1 [/ латекс]

для эллипса с центром в начале координат с большой осью на оси Y .

Написание уравнений эллипсов с центром в начале координат в стандартной форме

Стандартные формы уравнений рассказывают нам об основных особенностях графиков. Найдите минутку, чтобы вспомнить некоторые стандартные формы уравнений, с которыми мы работали в прошлом: линейные, квадратичные, кубические, экспоненциальные, логарифмические и т. Д. Научившись интерпретировать стандартные формы уравнений, мы устраняем взаимосвязь между алгебраическими и геометрическими представлениями математических явлений.

Ключевыми особенностями эллипса являются его центр, вершины, совпадения вершин, фокусы, а также длина и положение большой и малой осей. Как и в случае с другими уравнениями, мы можем определить все эти особенности, просто взглянув на стандартную форму уравнения. Существует четыре варианта стандартной формы эллипса. Эти вариации классифицируются сначала по положению центра (начало или не начало), а затем по положению (по горизонтали или вертикали). Каждый представлен вместе с описанием того, как части уравнения соотносятся с графиком.2 [/ латекс]. Когда нам даны координаты фокусов и вершин эллипса, мы можем использовать это соотношение, чтобы найти уравнение эллипса в стандартной форме.

Рисунок: (а) горизонтальный эллипс с центром (0,0), (б) вертикальный эллипс с центром (0,0)

Как сделать: учитывая вершины и фокусы эллипса с центром в начале координат, запишите его уравнение в стандартной форме.

1. Определите, находится ли большая ось на оси x или y .2 [/ latex] в стандартную форму уравнения, определенного на этапе 1.

Пример: запись уравнения эллипса с центром в исходной точке в стандартной форме

Какое уравнение стандартной формы представляет собой эллипс, имеющий вершины [латекс] (\ pm 8,0) [/ latex] и фокусы [латекс] (\ pm 5,0) [/ latex]?

Показать Показать решение

Фокусы находятся на оси x , поэтому большая ось — это ось x . Таким образом, уравнение будет иметь вид:

[латекс] \ dfrac {{x} ^ {2}} {{a} ^ {2}} + \ dfrac {{y} ^ {2}} {{b} ^ {2}} = 1 [/ латекс ]

Вершины — [latex] (\ pm 8,0) [/ latex], поэтому [latex] a = 8 [/ latex] и [latex] a ^ 2 = 64 [/ latex].2} {16} = 1 [/ латекс]

Написание уравнений эллипсов, не центрированных в начале координат

Как и графики других уравнений, график эллипса можно преобразовать. Если эллипс переводится на [латекс] h [/ латекс] единиц по горизонтали и [латекс] k [/ латекс] единиц по вертикали, то центр эллипса будет [латекс] \ слева (h, k \ справа) [/ латекс] . Этот перевод приводит к стандартной форме уравнения, которое мы видели ранее, с заменой [latex] x [/ latex] на [latex] \ left (xh \ right) [/ latex] и y вместо [latex] \ left (yk \ right) [/ латекс].{2} [/ латекс]. Мы можем использовать это соотношение вместе с формулами средней точки и расстояния, чтобы найти уравнение эллипса в стандартной форме, когда заданы вершины и фокусы.

(a) Горизонтальный эллипс с центром [латекс] \ left (h, k \ right) [/ latex] (b) Вертикальный эллипс с центром [латекс] \ left (h, k \ right) [/ latex]

Как сделать: учитывая вершины и фокусы эллипса, не центрированные в начале координат, запишите его уравнение в стандартной форме.

1. Определите, параллельна ли большая ось оси x или y .{2} [/ latex] в стандартную форму уравнения, определенного на этапе 1.

Пример: запись уравнения эллипса с центром в точке, отличной от начала координат

Уравнение стандартной формы эллипса с вершинами [латекс] \ left (-2, -8 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (-2, \ text {2} \ right) [ / latex] и фокусы [латекс] \ left (-2, -7 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (-2, \ text {1} \ right)? [/ latex]

Показать решение

Координаты вершин и фокусов x совпадают, поэтому большая ось параллельна оси y .{2}} {4} = 1 [/ латекс]

Решение прикладных задач с использованием эллипсов

Многие реальные ситуации могут быть представлены эллипсами, включая орбиты планет, спутников, лун и комет, а также формы килей, рулей и крыльев некоторых самолетов. В медицинском устройстве, называемом литотриптером, используются эллиптические отражатели для разбивания камней в почках путем генерации звуковых волн. Некоторые здания, называемые камерами шепота, имеют эллиптические купола, так что человека, шепчущего в одном фокусе, может легко услышать кто-то, стоящий в другом фокусе.Это происходит из-за акустических свойств эллипса. Когда звуковая волна возникает в одном фокусе шепчущей камеры, звуковая волна будет отражаться от эллиптического купола и обратно в другой фокус. В комнате для шепота в Музее науки и промышленности в Чикаго два человека, стоящие в очагах, на расстоянии около 43 футов друг от друга, могут слышать шепот друг друга.

Пример: определение местоположения очагов шепчущей камеры

Скульптурный зал в здании Капитолия в Вашингтоне, округ Колумбия.C. — это шепчущая камера. Его размеры 46 футов в ширину и 96 футов в длину.

а. Какая стандартная форма уравнения эллипса, представляющего очертания комнаты? Подсказка: возьмите горизонтальный эллипс и пусть центром комнаты будет точка [латекс] \ влево (0,0 \ вправо) [/ латекс].

г. Если два сенатора, стоящие в центре этой комнаты, могут слышать шепот друг друга, как далеко друг от друга находятся сенаторы? Округлите до ближайшего фута.